Bách khoa toàn thư há Wikipedia
Trong toán học tập, giai thừa là một trong toán tử một ngôi bên trên tập trung những số ngẫu nhiên. Cho n là một số trong những ngẫu nhiên dương, "n giai thừa", ký hiệu là tích của n số ngẫu nhiên dương trước tiên.
Bạn đang xem: factorial là gì
Ví dụ:
Đặc biệt, với , người tớ quy ước , hòa hợp quy ước của một tích rỗng tuếch.[1] Ký hiệu n! được sử dụng lần thứ nhất vì như thế Christian Kramp vô năm 1808. Giai quá được thông dụng trong tương đối nhiều mảng không giống nhau của toán học tập, đa số là mảng tổng hợp, vì như thế đấy là số cơ hội không giống nhau nhằm đảo lộn một group đối tượng người tiêu dùng này cơ.
Định nghĩa đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]
Ta hoàn toàn có thể khái niệm đệ quy (quy nạp) n! như sau
- với
Một số đặc thù của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]
- Giai quá với vận tốc tăng nhanh chóng rộng lớn hàm nón tuy nhiên chậm rì rì rộng lớn hàm nón nhì tầng () với nằm trong cơ số và nón.
- (Công thức Stirling).
- Đây là dạng nâng lên của công thức Stirling, cũng chính là ước tính với phỏng đúng mực tối đa (sai số lớn số 1 , khi n càng rộng lớn thì sai số càng nhỏ).
Đây là công thức ước tính của Srinivasa Ramanujan.
Các hệ thức dùng ký hiệu giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]
- Công thức tính số tổ hợp:
- Công thức tính số chỉnh hợp:
Mở rộng lớn cho tới tập dượt số rộng lớn hơn[sửa | sửa mã nguồn]
Theo công thức đệ quy rằng bên trên, thì tớ với 0! = 1, còn những giai quá của số âm ko tồn bên trên. Như vậy giai quá bên trên tập dượt số nguyên vẹn đang được giải quyết và xử lý kết thúc.
Một yếu tố được đặt điều ra: nên không ngừng mở rộng giai quá cho tới tập dượt số rộng lớn rộng lớn. Nhưng thực hiện thế nào?
Công thức Gamma[sửa | sửa mã nguồn]
Là công thức có tên một vần âm Hy Lạp tự căn nhà toán học tập Pháp, Adrien-Marie Legendre đưa ra. Hàm số này còn có dạng sau:
Bằng cách thức tích phân từng phần tớ với được:
Khi cơ tớ có:
Sau này Euler và Weierstrass đang được chuyển đổi lại thành:
Tính hóa học cần thiết nhất của chính nó đang được chủ yếu Euler chứng tỏ, cơ là:
Thay z = một nửa tớ thu được:
Một công thức không giống cũng ko thông thường phần cần thiết là:
Hai công thức bên dưới đấy là tự Gauss hội chứng minh:
![\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95632da26b256ee27faac11756cdd3d8f837f29)
![\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4208fc44198d0e0c574af736a7e225462499eb8d)
Giai quá với số thực[sửa | sửa mã nguồn]
Theo công thức ứng thân ái giai quá với công thức Gamma, những căn nhà toán học tập đang được đưa ra công thức Pi với dạng sau:
Như vậy:
Ví dụ:
Giai quá với số phức[sửa | sửa mã nguồn]
Công thức chủ yếu nhằm tính giai quá vô tình huống này là ước tính Laurent:
với |z| < 1. Khai triển đi ra tớ với bảng những thông số như sau:
| Xấp xỉ | ||
|---|---|---|
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
Ở trên đây là hằng số Euler - Mascheroni còn là hàm zeta Riemann.
-
.
-
Xem thêm: quotient là gì
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
-
Đồ thị hàm Z = Im(z!).
Ngoài đi ra, còn hoàn toàn có thể sử dựng ước tính giao động theo mô hình nang cao của công thức Stirling với một số trong những bổ sung cập nhật kèm cặp vơi cơ.
Cụ thể:
Các định nghĩa tương tự[sửa | sửa mã nguồn]
Giai quá yếu tắc (primorial)[sửa | sửa mã nguồn]
Bài chi tiết: Giai quá nguyên vẹn tố
Giai quá nguyên vẹn tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của toàn bộ những số yếu tắc nhỏ rộng lớn hoặc vì như thế n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích những số yếu tắc (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt điều theo gót Harvey Dubner và là kể từ ghép của prime và factorial. Các giai quá nguyên vẹn tố trước tiên là:
- 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).
Giai quá kép[sửa | sửa mã nguồn]
Có thể coi n! là tích n thành phần đầu của cung cấp số cùng theo với thành phần đầu vì như thế 1 và công sai vì như thế 1. Mở rộng lớn với công sai vì như thế 2 tớ có:
Giai quá kép là tích n thành phần đầu của cung cấp số cùng theo với thành phần đầu 1 và công sai là 2.
Ví dụ:
- 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
- 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.
Dãy những giai quá kép trước tiên là:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| n!! | 1 | 1 | 2 | 3 | 8 | 15 | 48 | 105 | 384 | 945 | 3840 |
Định nghĩa bên trên hoàn toàn có thể không ngừng mở rộng cho những số nguyên vẹn âm như sau:
Các giai quá kép nguyên vẹn âm lẻ trước tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là
- 1, -1, 1/3, -1/15...
Các giai quá kép của số nguyên vẹn âm chẵn là ko xác lập.
Một vài ba đẳng thức với giai quá kép:
Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.
Giai quá bội[sửa | sửa mã nguồn]
Ta hoàn toàn có thể nối tiếp không ngừng mở rộng với những giai quá bội thân phụ (n!!!),bội tứ (n!!!!)....
Tổng quát tháo, giai quá bội k ký hiệu là n!(k), được khái niệm đệ quy như sau
Siêu giai thừa(superfactorial)[sửa | sửa mã nguồn]
Neil Sloane và Simon Plouffe đang được khái niệm siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai quá trước tiên. Chẳng hạn, siêu giai quá của 4 là
Tổng quát
Các siêu giai quá trước tiên chính thức kể từ n = 0) là
Xem thêm: mountains là gì
- 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 vô bảng OEIS)
Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley không ngừng mở rộng trở nên siêu fake giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai quá trước tiên. Những độ quý hiếm trước tiên của bọn chúng là (bắt đầu kể từ n = 0):
- 1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...
và nối tiếp đệ quy với siêu giai quá bội (multiple-level factorial) vô cơ siêu giai quá bội cung cấp m của n là tích của n siêu giai quá bội cấp(m − 1), nghĩa là
trong cơ for and .
Giai quá trên[sửa | sửa mã nguồn]
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- Factorial (mathematics) bên trên Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
- GIAI THỪA của một số trong những ngẫu nhiên n bên trên Từ điển bách khoa Việt Nam
- Hazewinkel, Michiel chỉnh sửa (2001), “Factorial”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W., "Factorial" kể từ MathWorld.
- Factorial bên trên trang PlanetMath.org.
- Tính toán của giai thừa
Bình luận